Глава 16. Конспект лекций

### Глава 16. Проблема синтеза линейных электрических цепей

16.1. Постановка задачи синтеза
16.2. Условия физической реализуемости
16.3. Нормирование элементов и частоты
16.4. Чувствительность характеристик электрических цепей
16.5. Задача аппроксимации в синтезе электрических цепей
16.6. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез реактивных двухполюсников
16.7. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез четырехполюсников
Вопросы и задания для самопроверки

### 16.1. Постановка задачи синтеза

Линейные устройства систем передачи информации. Предыдущие главы посвящены в основном проблеме анализа электрических цепей. В них рассматривались методы анализа и на их основе изучались свойства электрических цепей. Другой проблемой является создание устройств и систем, обладающих заданными свойствами, что составляет содержание задачи синтеза электрических цепей. В последующих главах речь пойдет о синтезе конкретных линейных устройств, являющихся составной частью систем передачи информации.

Электрические фильтры это четырехполюсники, которые с пренебрежимо малым ослаблением пропускают колебания в определенном диапазоне (диапазонах) частот и практически не пропускают колебаний в других диапазонах. На рис. 16.1 приведена типичная характеристика рабочего ослабления ФНЧ. Для данного примера ослабление в полосе частот 0 ... п не превышает 1 дБ, а в полосе частот з ... ослабление превышает 40 дБ. Полоса частот, в которой ослабление относительно мало, называется полосой пропускания; полоса частот, в которой ослабление относительно велико, называется полосой задерживания. Между полосами пропускания и задерживания находится полоса расфильтровки (переходная полоса). В этой полосе требования на ослабление не задаются. Электрические фильтры служат для выделения колебаний в необходимой полосе частот. Например, в антенне существуют колебания, вызванные работой многих радиостанций. Каждая радиостанция работает в своей полосе частот. Радиоприемник с помощью фильтров выделяет колебания в желаемом диапазоне частот. Для того, чтобы была возможность последовательно принимать различные радиостанции, фильтр необходимо перестраивать. Вращение ручки настройки радиоприемника приводит к смещению полос пропускания и задерживания. Та же идея положена в основу разделения телефонных каналов в аналоговых многоканальных системах передачи. Фильтрами можно формировать сигналы сложной формы, уменьшать пульсации напряжения или тока в источниках питания.

Рис. 16.1

Корректоры линейных искажений или просто корректоры – это четырехполюсники, служащие для компенсации линейных искажений. В § 9.6 приведены условия безыскаженной передачи. На практике эти условия выполняются далеко не всегда, вследствие чего возникают амплитудно-частотные и фазо-частотные искажения. Для того чтобы обеспечить условия безыскаженной передачи и применяются корректоры. Линейные искажения часто корректируются раздельно. Амплитудными корректорами компенсируются амплитудно-частотные искажения, а фазовыми – фазо-частотные. Корректоры могут быть постоянными, когда их характеристики не меняются в процессе работы или автоматическими (адаптивными), когда при изменении параметров среды передачи (например линий) характеристики корректора автоматически также изменяются.

Линии задержки – это четырехполюсники, которые в некотором диапазоне частот имеют с заданной степенью точности линейную фазо-частотную характеристику или постоянное групповое время пробега. Линии задержки применяются как элемент устройств, например, гармонических корректоров.

Требования к цепи, этапы синтеза. Требования к электрической цепи можно разделить на основные и дополнительные. Основные требования определяют целевое назначение синтезируемой цепи. Электрические свойства линейной цепи полностью описываются во временной области переходной g(t) или импульсной h(t) характеристиками, а в частотной области – амплитудно- и фазо-частотными характеристиками. Поэтому основные требования предъявляются либо к частотным, либо к временным характеристикам будущей цепи.

Дополнительные требования зависят от условий работы создаваемых устройств. К ним относятся ограничения на массу и габариты, чувствительность характеристик к изменению элементов, температурную нестабильность, элементный базис (например, в ряде случаев нежелательно применение катушек индуктивности), а также требования простоты процесса настройки в условиях производства и т. д. Часть дополнительных требований носит обязательный характер, а часть подлежат оптимизации (минимизации или максимизации) при прочих равных условиях. Так, возможен случай, когда требования по чувствительности должны выполняться безусловно, а габариты и масса минимизируются.

В классической постановке задача синтеза разбивается на два этапа: задачу аппроксимации и задачу реализации.

Решение задачи аппроксимации заключается в нахождении такой функции, которая, с одной стороны, удовлетворяет поставленным требованиям, а с другой – удовлетворяет условиям физической реализуемости характеристик (временных или частотных) электрических цепей.

Решение задачи реализации заключается в нахождении электрической цепи, временная или частотная характеристика которой совпадает с функцией, найденной в результате решения задачи аппроксимации.

### 16.2. Условия физической реализуемости

Синтез электрических цепей можно выполнить во временнoй области, когда требования задаются к переходной или импульсной характеристике, и в частотной области, когда требования задаются к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) и ФЧХ цепи. При этом требования часто задаются только к АЧХ цепи, а ФЧХ не контролируется. Очевидно, не любая вещественная функция может быть реализована в виде временнoй характеристики цепи и не любая комплексная функция может быть реализована в виде входной или передаточной функции.

Условия, при выполнении которых заданная функция может быть реализована как характеристика цепи, называются условиями физической реализуемости (УФР). Данные условия зависят от того, из каких элементов предполагается синтезировать цепь, т. е. УФР зависят от элементного базиса. Ниже будут рассматриваться линейные активные и пассивные RLC-цепи с сосредоточенными и независящими от времени параметрами. Рассмотрим УФР данных цепей.

Условия физической реализуемости передаточных функций. В гл. 7 показано, что входные или передаточные функции являются дробно-рациональными функциями с вещественными коэффициентами (7.41):

Для того, чтобы дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами являлась с точностью до постоянного множителя передаточной функцией четырехполюсника, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условиям, описанным в § 7.4:
1) полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица;
2) степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя.

В терминах нулей и полюсов эти два условия могут быть сформулированы следующим образом:
1) полюсы передаточной функции должны находиться в левой полуплоскости;
2) отсутствуют полюсы в нуле и бесконечности.

На положение нулей никаких ограничений не накладывается. Эти два условия определяют условия устойчивой цепи.

Если некоторая дробно-рациональная функция удовлетворяет приведенным условиям, то говорят, что она удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Структура четырехполюсника может накладывать дополнительные ограничения. Так часто представляют интерес четырехполюсники, не содержащие взаимных индуктивностей и имеющие общий провод между входным и выходным зажимами, т. е. трехполюсники или неуравновешенные четырехолюсники. Такие цепи должны дополнительно удовлетворять условиям Фиалкова—Герста, формулируемым следующим образом: для трехполюсных цепей без взаимной индуктивности коэффициенты числителя передаточной функции не отрицательны и не превышают соответствующих коэффициентов знаменателя. Это означает, что отсутствуют нули на положительной вещественной полуоси.

Дальнейшие ограничения, накладываемые на структуру четырехполюсника, приводят к дополнительным ограничениям на положение нулей. Так, нули лестничных схем могут находиться только в левой полуплоскости комплексной переменной р. Ограничения на свойства передаточных функций вызываются также видом элементов. Так, в RС-цепях полюсы могут располагаться только на отрицательной вещественной полуоси. В лестничных RС-цепях на отрицательной вещественной полуоси располагаются как полюсы так и нули.

Условия физической реализуемости модуля и аргумента комплексной передаточной функции. Если переменная р принимает только мнимые значения р = j, то операторные функции превращаются в комплексные функции вида:

Учитывая, что j 2 = —1, j 3 = — j, j 4 = 1 и т. д., комплексную передаточную функцию можно записать следующим образом (см. § 7.4):
(16.1)
где
(16.2)
(16.3)
(16.4)
(16.5)

Любая комплексная функция может быть представлена в виде (см. § 7.4)
где |H(j)| – АЧХ, а () – ФЧХ цепи.

Модуль передаточной функции H(j) согласно (7.43)
(16.6)

В синтезе цепей часто пользуются понятием квадрата модуля передаточной функции |H(j)|2. Это позволяет избавиться от иррациональных функций. На основании формул (16.1)—(16.4) легко показать, что квадрат модуля передаточной функции в общем виде может быть представлен следующим образом (7.45):

Из УФР операторных функций следует УФР квадрата модуля передаточной функции:
1) |H(j)|2 – четная, дробно-рациональная функция;
2) n m;
3) полиномы числителя и знаменателя неотрицательны на вещественной полуоси.

Найдем аргумент комплексной передаточной функции. Из (16.1) следует, что
тогда
где

Функция D() называется функцией угла или тангенс-функцией. УФР тангенс-функции следует из УФР операторных функций. Тангенс-функция должна удовлетворять следующим условиям:
1) D() – нечетная дробно-рациональная функция;
2) коэффициенты D() должны быть вещественными.

Условия физической реализуемости временных функций цепи. Как уже отмечалось, в зависимости от конкретно решаемой задачи, электрические цепи удобно описывать либо частотными характеристиками, либо временными. Так, при построении многоканальных систем передачи с частотным разделением каналов удобно пользоваться частотными характеристиками, а в цифровых системах связи, где применяется временное разделение каналов, удобно описывать электрические цепи временными характеристиками. К временным характеристикам относятся (см. § 8.1) переходная g(t) и импульсная h(t) характеристики. Напомним, что переходная характеристика численно равна отклику (реакции) цепи на единичное воздействие 1(t), в качестве которого может быть либо ток, либо напряжение. Отклик также может быть либо током, либо напряжением, поэтому, как и в случае передаточных функций существует четыре типа переходных характеристик (гл. 8) gu(t), gi(t), gY(t), gz(t). Первые две характеристики являются безразмерными, третья имеет размерность проводимости, а четвертая – сопротивления.

Импульсная характеристика численно равна отклику цепи на -функцию. Существует также четыре типа импульсных характеристик (гл. 8): hu(t), hi(t), hY(t), hz(t). Как показано в гл. 8. импульсная и переходная характеристики выражаются одна через другую, поэтому они не являются независимыми (см. § 8.1). Для описания цепи достаточно знать одну из них. Применение того или другого описания цепи зависит от конкретной задачи.

Условия физической реализуемости данных характеристик следует из свойств операторных передаточных функций. Действительно, так как изображение по Лапласу переходной и импульсной характеристик имеет соответственно вид
то g(t) и h(t) легко найти с помощью теоремы разложения (§ 7.2). Из этой теоремы следует, что g(t) состоит из слагаемых вида
(16.7)

Функция h(t), кроме перечисленных слагаемых, может содержать слагаемое (t) (см. (8.3)).

Слагаемое, приведенное в первой строке (16.7) соответствует простым вещественным, во второй строке – простым комплексно-сопряженным, в третьей кратным вещественным, а в четвертой – кратным комплексно-сопряженным полюсам передаточной функции Н(р).

На основании изложенного легко сформулировать УФР переходных и импульсных характеристик: если h(t) и g(t) могут быть представлены в виде суммы перечисленных выше слагаемых и при этом все коэффициенты являются вещественными, а a > 0, то h(t) и g(t) будут удовлетворять УФР.

Условия физической реализуемости входных функций (входных сопротивлений Z(p) и проводимостей Y(p)).

Возникает вопрос: всякому ли выражению Z(p) можно сопоставить реальный, т. e. физически осуществимый двухполюсник. Очевидно, если синтезируется реактивный двухполюсник, то функция Z(p) должна отвечать свойствам входного сопротивления реактивных двухполюсников: быть дробно-рациональной с вещественными коэффициентами и степенями числителя и знаменателя, отличающимися не более чем на единицу; нули и полюсы этой функции должны чередоваться на мнимой оси плоскости р (см. § 4.5).

При синтезе RLC-двухполюсников функция Z(p) должна обладать свойствами входного сопротивления этих двухполюсников. Входные функции таких четырехполюсников относятся к классу так называемых положительных вещественных функций (ПБФ), которые удовлетворяют следующему дополнительному условию: Re[Z(p)] 0 или Re[Y(p)] 0 при a > 0.

Можно показать, что положительные вещественные функции всегда представляют собой отношение двух полиномов Гурвица, степени которых отличаются не более, чем на единицу, т. e. нули и полюсы расположены в левой полуплоскости. Кроме того, если ПВФ имеет полюсы или нули на мнимой оси (включая р = 0 и р = ), то эти полюсы и нули являются вещественными и положительными.

Часто рассматриваются цепи, содержащие элементы только двух видов: LC-, RC- и RL-цепи. Ограничения на вид используемых элементов накладывают дополнительные ограничения на входные функции. Так, нули и полюсы входных функций LC-цепей находятся на мнимой оси и чередуются. Аналогичным свойством обладают входные функции RC- и RL-цепей с той лишь разницей, что их нули и полюсы находятся на отрицательной вещественной полуоси.

### 16.3. Нормирование элементов и частоты

В синтезе электрических цепей часто прибегают к нормированию элементов и частоты. Нормирование частоты уже встречалось ранее, когда рассматривались частотные характеристики колебательных контуров (гл. 4). Целесообразность применения нормирования ясна из следующего примера. Пусть необходимо рассчитать частотную характеристику сопротивления последовательного RLC-контура с параметрами элементов L=10–5 Гн, С = 10–9 Ф, R = = 5 Ом. Данный контур имеет добротность Q = 20, характеристическое сопротивление = 100 Ом и резонансную частоту р = 107 с–1. При расчете сопротивления данного контура приходится оперировать с величинами от 10–9 до 107, что не всегда удобно. Выполним нормирование сопротивлений и частоты. Для этого запишем выражение сопротивления данного контура:

Разделим левую и правую часть равенства на некоторое нормирующее значение сопротивления Rн, а второе и третье слагаемое умножим и разделим на некоторое нормирующее значение частоты н:

Введем следующие названия и обозначения:
– нормированное комплексное сопротивление,
– нормированная частота;
(16.8)
– нормированная индуктивность;
(16.9)
– нормированная емкость;
(16.10)
– нормированное резистивное сопротивление.

Величины н и Rн, вообще говоря, можно выбирать произвольно. В данном случае удобно положить н = р и Rн = . Тогда параметры нормированных элементов принимают следующие значения:

Выполнение расчетов с такими числовыми значениями удобней, чем с ненормированными величинами.

Существует вторая, более важная причина, по которой применяют нормирование. Она проявляется в синтезе цепей. Допустим, что в результате сложных процедур получена некоторая цепь с нормированными значениями элементов. Истинные значения элементов определяются из формул (16.8)—(16.10) следующим образом:
(16.11)
(16.12)
(16.13)

Изменяя н и Rн можно без выполнения сложных процедур получить схемы устройств, работающих в различных диапазонах частот и при различных нагрузках. Введение нормирования позволило создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит сложную проблему синтеза фильтра к элементарным действиям.

### 16.4. Чувствительность характеристик электрических цепей

Предположим, что каким-то образом синтезирован четырехполюсник. Его характеристики (частотные, или временные) выражаются через его элементы. Например, на рис. 16.2 показана простейшая схема фильтра.

Рис. 16.2 | Рис. 16.3

Его операторная передаточная функция имеет вид
(16.14)

Квадрат модуля передаточной функции

Как видно, характеристики цепи зависят от параметров ее элементов. В процессе производства и эксплуатации радиоэлектронных устройств значения параметров элементов неизбежно отличаются от расчетных значений, что приводит к изменению их характеристик. Изменения характеристик должны быть такими, при которых работа устройства не нарушается. Поэтому, чем меньше изменения характеристик при одном и том же отклонении величин параметров элементов, тем лучше это устройство. Для оценки влияния изменений характеристик устройств к изменению параметров элементов вводится понятие чувствительности. Пусть хi i-й элемент (параметр) цепи, а F(хi) – характеристика, зависящая от этого элемента. Чувствительностью некоторой характеристики F(хi) к изменению некоторого параметра хi называется предел отношения относительного изменения функции к относительному изменению параметра:

Например, чувствительность АЧХ цепи |H(j)| к изменению какого-либо параметра цепи xi имеет вид

Кроме чувствительности временных и частотных характеристик в теории цепей рассматриваются также чувствительность полюса и добротности полюса к изменению (параметров) элементов. Для операторной передаточной функции (16.14) полюсы определяются выражением

Здесь предполагается, что полюсы являются комплексно-сопряженными числами. На рис. 16.3 показано положение этих полюсов на комплексной плоскости.

Добротностью полюса называют отношение его модуля (расстояние от полюса до начала координат) к удвоенной вещественной части:

Интересно, что добротность полюса совпадает с добротностью контура на резонансной частоте (см. (4.25)). В предельных случаях, когда полюс находится на мнимой оси, то Q = , а когда на вещественной оси – Q = 0,5.

Чувствительность k-го полюса определяется как
где pk – полюс передаточной функции цепи. Эта чувствительность показывает приращение полюса при изменении параметров элементов цепи. В данном случае S – это не функция, а комплексное число.

Чувствительность добротности полюса вычисляется по формуле

Исследование чувствительности при синтезе цепей помогает создать цепь, характеристики которой наименее подвержены воздействию различных дестабилизирующих факторов (например, температуры, влажности, старения элементов и др.).

### 16.5. Задача аппроксимации в синтезе электрических цепей

Аппроксимация функций является одним из разделов математики и широко используется в различных областях знаний. В § 10.2 мы сталкивались с аппроксимацией ВАХ нелинейных элементов. И в данном случае подход к решению задачи остается прежним. Прежде всего это касается критериев близости функций. Напомним, что наиболее распространенными являются два критерия. Во-первых, это среднеквадратический критерий, когда минимизируется интеграл от квадрата модуля разности функций. Другим критерием является минимаксный критерий, когда минимизируется максимум модуля разности двух функций. Если достигается такой минимум, то говорят, что аппроксимация выполнена по Чебышеву или оптимально равномерно. Однако в решении задачи аппроксимации при синтезе цепей имеются и отличия. Во-первых, существуют ограничения на вид аппроксимирующих функций и, во-вторых, должны контролироваться УФР.

Действительно, если выполняется аппроксимация квадрата модуля передаточной функции, то в качестве аппроксимирующей необходимо выбрать дробно-рациональную функцию, которая представляет собой отношение двух четных полиномов с вещественными коэффициентами. При этом степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя и свободный член полинома знаменателя не может равняться нулю. Таким выбором аппроксимирующей функции удовлетворяются первые два УФР квадрата модуля передаточной функции. Третье условие должно контролироваться в процессе решения аппроксимационной задачи.

Когда рассматриваются временные характеристики, то выбор аппроксимирующей функции осуществляется в соответствии с выражениями (16.7).

Методы аппроксимации. Обозначим заданную функцию (х). Как уже говорилось, это может быть: АЧХ |H(j)| или ее квадрат |H(j)|2; ФЧХ () или ее тангенс D = tg(); характеристика группового времени прохождения (ГВП) tгр() = d ()/d ; импульсная характеристика h(t); переходная характеристика g(t) и т. д.

В качестве аппроксимирующей функции выбирают соответствующую частотную или временнyю функцию цепи F(x). Например, если задан квадрат АЧХ, т. е. (х) = |H(j)|2, то функция цепи, аппроксимирующая заданную, ищется в общем случае в виде
где подлежат определению значения коэффициентов c0, ..., cn, d0, ..., dm.

Для заданной переходной функции (х) = g(t) аппроксимирующая функция может описываться выражением ,
где в результате аппроксимации определяются значения коэффициентов Аk и корней характеристического уравнения pk = ak jk и т. д.

Из рассмотренных примеров видно, что аппроксимирующая функция F(x) зависит от некоторых параметров цепи (в первом случае от c0, ..., cn, d0, ..., dm, во втором – от Ak и pk и др.). Обозначим параметры цепи в общем виде буквами a1, a2, ..., aN, т. е. F(x) = F(x, a1, a2, ..., aN). Решением задачи аппроксимации считается нахождение наилучших значений коэффициентов a1, a2, ..., aN, при которых функция F(x) будет наиболее “близка” к функции (х).

Различные аппроксимации (приближения одной функции к другой) отличаются, прежде всего, понятиями “близости” двух функций. Наиболее широкое распространение в радиотехнике и связи получили такие методы аппроксимации, как интерполяция, приближение по Тейлору, приближение по Чебышеву, среднеквадратическое приближение.

При приближении функции F(x) и (х) методом интерполяции наилучшей “близостью” этих функций считается совпадение их значений в выбранных точках – узлах интерполяции – x1, x2, ..., xN, т. е.

Решение этой системы уравнений позволяет найти искомые значения коэффициентов a1, a2, ..., aN.

Решение задачи аппроксимации данным методом (см. § 10.2) имеет следующие недостатки:
1. Отсутствует процедура выбора точек интерполяции и первоначального порядка функции и поэтому время, необходимое для отыскания оптимального решения, зависит от квалификации и интуиции разработчика.
2. В процессе решения не контролируются УФР.

Несмотря на отмеченные недостатки, метод интерполяции применяется довольно широко на практике, например, при синтезе амплитудных корректоров.

Данный метод аппроксимации применяется довольно часто ввиду его простоты, однако он не гарантирует получения физически реализуемой функции F(x).

Приближение функций по Тейлору предполагает, что наилучшая “близость” F(x) и (х) достигается при совпадении в выбранной точке x0 значений самих функций и их (N— 1) производных. Таким образом,

В основе этой системы уравнений лежит разложение функций F(x) и (х) в ряды Тейлора и приравнивание первых N коэффициентов соответствующих рядов. Приближение по Тейлору нашло применение, в частности, при синтезе электрических фильтров. По имени автора, впервые предложившего такой вид аппроксимации в теории фильтров, она называется аппроксимацией по Баттерворту (см. § 7.2).

Наилучшее приближение функции F(x) к (х) при аппроксимации по Чебышеву определяется из условия

Этот критерий “близости” функций следует понимать так: коэффициенты a1, a2, ..., aN функции F(x) должны быть выбраны такими, чтобы самое наибольшее отклонение F(x) от (х) в любой точке х рассматриваемого диапазона сделать минимально возможным.

Задача чебышевских приближений решена аналитически для электрических фильтров (см. § 17.2).

При использовании Чебышевского критерия близости полезной является теорема Чебышева, которая формулируется следующим образом.

Теорема Чебышева. Если рациональная функция F(x, a1, a2, ..., aN) с n коэффициентами аппроксимирует вещественную функцию на данном интервале по Чебышеву, то все максимумы отклонения равны между собой, а также равны величинам отклонений на границах интервала и достигаются не менее, чем в N + 1 точках, причем знаки отклонений чередуются.

Эта теорема отвечает на вопрос: данная аппроксимация выполнена оптимально или нет.

При среднеквадратическом приближении наилучшая “близость” двух функций достигается при выполнении условия
т.е. при таких значениях коэффициентов a1, a2, ..., aN, при которых сумма квадратов отклонений F(x) от (х) в точках x1, x2, ..., xM (M > N) является минимально возможной.

Минимизация достигается путем составления и решения системы алгебраических уравнений:

Отметим, что заданная и аппроксимирующие функции могут быть не только вещественными, но и комплексными, что позволяет одновременно аппроксимировать как АЧХ, так и ФЧХ.

При решении задач среднеквадратических приближений разработано большое количество численных методов, предназначенных для использования их на ЭВМ.

Заметим, что не существует четких рекомендаций по применению того или иного метода аппроксимации. Зачастую выбор метода зависит от сложности решения задачи аппроксимации (аналитического или численного), от конкретного применения синтезированной цепи и т. п.

### 16.6. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез реактивных двухполюсников

Идея любого метода синтеза двухполюсников заключается в том, что находится способ разложения заданной операторной функции на более простые функции, по которым уже легко восстановить схему. Например, пусть входное сопротивление выражается формулой

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:

Из этой записи очевидно, что соответствующая схема состоит из последовательного соединения резистора a1/b1 в емкости b1/a0.

Напомним общие свойства реактивных двухполюсников (см. § 4.5). Эти свойства вытекают из того факта, что LС-двухполюсники не могут рассеивать энергию, поэтому при p = j вещественная часть функции сопротивления и проводимости равна нулю

Таким образом, сопротивление (проводимость) двухполюсника является мнимой функцией частоты, а нули и полюсы соответствующей операторной функции лежат на мнимой оси, чередуются и являются простыми, а вычеты в полюсах – положительными. Так как коэффициенты операторной входной функции являются вещественными, то нули и полюсы составляют комплексно-сопряженные пары. Учитывая сказанное, операторное сопротивление реактивного двухполюсника можно записать в виде

Объединяя попарно комплексно-сопряженные нули и полюсы получаем (см. табл. 4.1):
(16.15)

Напомним, что чередование нулей и полюсов отображается неравенством
(16.16)

Если заданная функция Z(p) обладает свойствами входного сопротивления реактивных двухполюсников, то говорят, что она удовлетворяет условиям физической реализуемости. Это означает, что существуют схемы двухполюсников с реальными значениями элементов, входное сопротивление которых описывается заданной функцией Z(p).

В результате синтеза часто получают двухполюсники в виде канонических схем Фостера или Кауэра (подобные схемы существуют и для RLC-двухполюсников).

Для иллюстрации идеи синтеза ограничимся рассмотрением только реактивных двухполюсников.

Метод Фостера. Рассмотрим метод синтеза LC-двухполюсников, предложенный Фостером. Согласно этому методу функцию сопротивления либо функцию проводимости, как любую дробно-рациональную функцию, можно представить в виде суммы дробей (вспомним, например, теорему разложения).

Для двухполюсников, построенных по первой форме Фостера, наиболее общей является схема, изображенная на рис. 16.4. Остальные схемы могут быть получены из нее путем “удаления” соответствующих элементов Lа и Са.

Рис. 16.4 |

Можно составить выражение для входного сопротивления Z(p), отражающее структуру рис. 16.4:
(16.17)

Первые два слагаемые соответствуют последовательному соединению элементов Lа и Са, остальные – последовательному соединению параллельных контуров с элементами L2 и С2, L4 и С4 и т. п. Существуют формулы для расчета элементов этой схемы. Приведем их без доказательства:
(16.18)

Процедура синтеза двухполюсников по первой форме Фостера сводится, таким образом, к представлению заданной рациональной дроби Z(p) в виде (16.17) и расчету элементов по формулам (16.18). Заметим, что первое слагаемое будет существовать в выражении (16.17) тогда, когда заданная дробь Z(p) неправильная, т. е. степень числителя будет на единицу превышать степень знаменателя. Число элементов двухполюсника соответствует наивысшей из степеней числителя и знаменателя заданной дроби Z(p). При четных степенях знаменателя из (16.17) исчезает второе слагаемое 1/(рСа).

Пример. Дано выражение

Осуществим синтез двухполюсника по первой форме Фостера. Можно показать, что заданная функция Z(p) является физически реализуемой. Представим Z(p) в виде (16.17):
(16.17a)

Расчет элементов произведем по формулам (16.18): С1 = 1,165 мкФ; С3 = 7,0 мкФ; L1 = 1/(22С1) = 28,6 мГн; L3 = 1/(42С3) = 0,84 мГн.

Схема двухполюсника состоит из четырех элементов (наивысшая степень дроби – 4): последовательно соединенных двух параллельных колебательных контуров с элементами L1, С1 и L3, С3. Отсутствие в схеме катушки индуктивности Lа обусловлено тем фактом, что дробь Z(p) правильная. Вследствие четности степени знаменателя в схеме отсутствует конденсатор Са.

Аналогичным образом осуществляется синтез двухполюсников по второй форме Фостера. В этом случае наиболее общей является схема на рис. 16.5.

Рис. 16.5 |  | Рис. 16.6 |

Входная проводимость Y(p) такого двухполюсника представляется суммой слагаемых, описывающих проводимости последовательных контуров и элементов Lб и Cб. При синтезе двухполюсников заданная проводимость Y(p) раскладывается на сумму указанных слагаемых.

Метод Кауэра. В теории электрических фильтров (см. гл. 17) находит применение синтез реактивных двухполюсников по схемам Кауэра. Наиболее общими являются схемы на рис. 16.6. Из них получаются остальные разновидности двухполюсников. Выражения входных сопротивлений для этих схем можно записать в виде так называемых лестничных дробей. Так, в первой схеме Кауэра (левая схема на рис. 16.7, а) катушка индуктивности L1 соединена последовательно с остальной частью схемы, поэтому Z(p) = pL1 + Z2(p). Оставшаяся справа от катушки часть схемы представляет собой параллельное соединение конденсатора и части схемы правее точек a—b. Поэтому Y2(p) = 1/Z2(p) = pC2 + Y3(p). Рассуждая подобным образом, можно прийти в итоге к следующей записи:
(16.18)

Дробь вида (8.19) называется лестничной. Синтез двухполюсников по первой схеме Кауэра состоит в разложении заданной функции Z(p) в лестничную дробь (16.18). Коэффициенты при р являются значениями элементов схемы.

Рис. 16.7 |

В виде лестничной дроби можно представить и входное сопротивление второй схемы Кауэра (правая схема на рис. 16.7, б). В этой дроби первый и остальные элементы будут следующего вида: 1/( pС1), 1/( pL2), 1/( pС3) и т. д.

Пример. Осуществим синтез двухполюсника по выражению Z(p) из предыдущего примера в виде первой схемы Кауэра. Заданная дробь имеет четвертый порядок (наивысшая из степеней числителя и знаменателя равна 4). Разложение ее в цепную дробь осуществляется последовательным делением полинома знаменателя на полином числителя, последнего – на остаток от первого деления, остатка от первого деления – на остаток от второго деления и т.д.:
1)
2)
3)
4)

В результате находится цепная дробь:

Этой дроби соответствует реактивный двухполюсник, схема которого приведена на рис. 16.8; она содержит четыре элемента С1 = 1,0 мкФ; L2 = 20 мГн; С3 = l,04 мкф; L4 =9,4 мГн.

Рис. 16.8 |

Пример. Найти лестничную схему, рассчитать значения параметров элементов, если ее нормированное сопротивление равно

Так как степень полинома числителя больше степени знаменателя, то возможно выполнить деление данных полиномов:

В результате такого деления получаем формулу

Дальнейшее деление невозможно, так как степень полинома остатка меньше степени полинома знаменателя. Для продолжения деления преобразуем последнее выражение:
(16.19)

Числитель полученной в остатке дроби имеет степень числителя больше степени знаменателя и деление возможно:

С учетом данного шага формула (16.19) принимает вид

Преобразуем полученное выражение так, чтобы имелась возможность дальнейшего деления:

Продолжая данную процедуру, в конечном итоге получаем следующее выражение:

Первое слагаемое представляет собой сопротивление индуктивности с L1 = 1, второе – проводимость емкости с С2 = 1, третье – сопротивление индуктивности с L3 = 2, четвертое – сопротивление емкости с С4 = 2 и пятое – сопротивление индуктивности с L5 = 1. Подстановка данных элементов в схему рис. 16.6 дает окончательный результат синтеза двухполюсника (рис. 16.9).

Рис. 16.9 |  | Рис. 16.10 |

Пример. По функции нормированного сопротивления
синтезировать схему двухполюсника в виде лестничной структуры. Будем осуществлять деление относительно p–1, т. е. на каждом шаге исключать слагаемое минимальной степени. Процесс деления покажем в компактном виде:

Соответствующая данному разложению схема показана на рис. 16.10.

Таким образом, согласно методу Кауэра можно синтезировать два вида лестничных схем:
1) с индуктивностями в продольных и с емкостями в поперечных ветвях (первая схема Кауэра);
2) с емкостями в продольных и с индуктивностями в поперечных ветвях (вторая схема Кауэра).

Представляют определенный интерес двухполюсники, состоящие из элементов R и С, а также из элементов R и L. Подход к синтезу таких двухполюсников остается такой же, как и в случае реактивных двухполюсников. Конечно, имеются свои особенности, но вид канонических схем остается прежним. Так RL-двухполюсники получаются из реактивных канонических схем путем замены емкостей на резисторы, а RС-двухполюсники – путем замены индуктивностей на резисторы. Одна из возможных канонических схем RС-двухполюсников показана на рис. 16.11.

Рис. 16.11 |

### 16.7. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез четырехполюсников

Полученная в результате аппроксимации функция цепи F(x) подлежит в дальнейшем реализации в виде конкретной схемы. Существует большое число методов реализации цепи по функции квадрата АЧХ |H(j)|2, ФЧХ () или характеристике ГВП tгр(), по переходной g(t) и импульсной h(t) характеристикам. Даже краткое упоминание обо всех методах привело бы к чрезмерному увеличению объема книги. В § 17.4 приведены примеры реализации электрических фильтров по функции квадрата АЧХ в виде пассивных лестничных LC-схем и активных RС-схем.

Существуют общие методы синтеза операторных передаточных функций. Остановимся лишь на методах, имеющих в настоящее время практическое значение:
1) синтез скрещенных (мостовых) схем с постоянным входным сопротивлением;
2) синтез симметричных Т-перекрытых схем с постоянным характеристическим сопротивлением;
3) синтез реактивных лестничных четырехполюсников, нагруженных резистивным сопротивлением;
4) синтез ARС-цепей.

Нахождение операторной передаточной функции по квадрату модуля комплексной передаточной функции. Предположим, что в результате решения задачи аппроксимации найден квадрат модуля комплексной передаточной функции (квадрат АЧХ). Далее необходимо знать операторную передаточную функцию. Определение квадрата модуля комплексной передаточной функции по соответствующей операторной функции осуществляется при помощи замены переменной р на j, и решается однозначно, т. е. операторной передаточной функции соответствует только один квадрат модуля комплексной передаточной функции.

Обратная задача решается несколько сложнее и неоднозначно. Вначале сформулируем теорему о квадрате модуля передаточной функции.

Теорема. Квадрат модуля комплексной передаточной функции не изменится, если изменить знак у всех или у некоторой части нулей и полюсов соответствующей операторной передаточной функции, а также если у комплексных нулей и полюсов знак изменяется одновременно у каждой комплексно сопряженной пары.

Докажем утверждение, что если в формуле для квадрата модуля выполнить обратную подстановку = —jp, то полученная функция обладает следующими свойствами:
1) функция |H(р)|2 содержит в 2 раза больше нулей и полюсов, чем функция Н(р);
2) если функция Н(р) имеет нуль, равный р0i, то |H(р)|2, кроме р0i, имеет нуль – р0i. Это означает, что при наличии нуля Н(р) в левой полуплоскости, в |H(р)|2 появляется дополнительный нуль в правой полуплоскости и наоборот. Сказанное полностью относится к полюсам. Действительно, квадрат модуля передаточной функции представим в виде
(16.20)

Выполним замену j = p или = —jp. Из формулы (16.7) видно, что

Пусть функция Н(р) имеет n нулей и m полюсов, тогда ее можно представить в виде (7.42):
т. е. Н(—р) содержит все нули и полюсы, что и Н(р), но с противоположными знаками. Это и требовалось доказать.

Проведенный анализ позволяет сформулировать порядок определения операторной передаточной функции по квадрату ее модуля:
1. В выражении для |H(j)|2 выполняем замену = —jр.
2. Находим все нули и полюсы функции |H(p)|2, половина из которых принадлежит функции Н(р). Полюсы, лежащие в левой полуплоскости относим к Н(р). Они составляют как раз половину всех полюсов. Остальные полюсы относятся к Н(—р). Такое распределение полюсов вызвано необходимостью получения устойчивых цепей (см. гл. 14). Таким образом, выбор полюсов передаточной функции осуществляется однозначно.
3. Распределение нулей функции |H(p)|2 между Н(р) и Н(–р) не может быть выполнено однозначно. Согласно теореме о квадрате модуля передаточной функции здесь имеется определенная свобода в выборе числителя передаточной функции. Если на ФЧХ никаких ограничений не накладывается, то обычно и нули выбирают в левой полуплоскости.
4. Постоянный множитель функции Н(р) равен квадратному корню из постоянного множителя функции |H(p)|2 .

Пример. Определить операторную передаточную функцию, если квадрат ее модуля имеет вид

1. Записываем |H(p)|2 путем замены = —jp в выражении для |H(j)|2

2. Находим нули и полюсы |H(p)|2:

Функция H(p): будет иметь полюсы р6 и р8, так как они находятся в левой полуплоскости.

3. Что касается нулей, то возможны следующие сочетания:

4. Постоянный множитель H = 5/2.

Запишем передаточную функцию для второго возможного сочетания нулей

Рассмотрим перечисленные выше методы синтеза передаточных функций.

Синтез скрещенных (мостовых) схем с постоянным входным сопротивлением. Этот метод является общим, т. е. любую операторную функцию, удовлетворяющую УФР, можно с точностью до постоянного множителя реализовать мостовой схемой с постоянным входным сопротивлением. Метод имеет важное теоретическое значение, так как доказывает достаточность УФР. В практическом плане этот метод применяется при синтезе фазовых корректоров и линий задержки. Мостовая схема четырехполюсника, нагруженная с обеих сторон на сопротивление R0 показана на рис. 16.12.

Рис.16.12

Если двухполюсники Za и Zb являются обратными, т. е. Za Zb = R02, то передаточная функция имеет вид
(16.21a)

Пусть задана передаточная функция H(p), удовлетворяющая УФР. Тогда для ее реализации мостовой схемой необходимо синтезировать двухполюсники с входными функциями:
(16.21 б, в)

Синтез таких двухполюсников возможен, если доказать, что функции (16.21 б, в) являются ПВФ (на самом деле достаточно доказать, что ПВФ является Za, тогда функция сопротивления обратного двухполюсника также является ПВФ). Чтобы это доказать, вспомним, что ПВФ – это дробно-рациональная функция, вещественная часть которой неотрицательная в правой полуплоскости. То что Za является дробно-рациональной, вытекает из того, что Н(р) – дробно-рациональная функция. Для определения условий, при которых , представим операторную передаточную функцию в виде суммы вещественной и мнимой частей:

Тогда

Вещественная часть Za будет неотрицательной, если x2 + y2 = |H(p)|2 1. Данное неравенство и является условием того, что Za(p) – ПВФ, а значит и условием физической реализуемости операторных передаточных функций в виде мостовой схемы с постоянным входным сопротивлением. Так как Н(р) удовлетворяет УФР, то она аналитическая (отсутствуют полюсы) в правой полуплоскости комплексной переменной р, а значит и ограничена по модулю |H(p)| М. Выбрав постоянный множитель Н = 1/M, получим функцию, реализуемую с точностью до постоянного множителя в виде мостовой схемы. Таким образом, реализация передаточной функции сводится к синтезу двухполюсников Za и Zb. Отметим, что на практике заданную передаточную функцию реализуют не в виде одной сложной мостовой схемы, а в виде каскадного соединения более простых мостовых схем. Для этого заданную функцию представляют в виде произведения более простых функций:

Каждая функция реализуется в виде мостовой схемы. Если сопротивление выбрано для всех схем одинаковым, то получается каскадное соединение согласованных четырехполюсников, и переданная функция каскадного соединения как раз и является произведением передаточных функций четырехполюсников, составляющих это каскадное соединение.

Синтез симметричных Т-перекрытых схем с постоянным характеристическим сопротивлением. Для симметричного Т-перекрытого четырехполюсника, показанного на рис. 16.13, а, характеристические сопротивления

Рис. 16.13 |

при взаимно-обратных двухполюсниках Z1Z2 = R2 равны R, т. е. четырехполюсник включен согласованно. Следовательно, его собственная постоянная передачи непосредственно связана с рабочей передаточной функцией или

Отсюда

Из последнего равенства и условия Z1(р)Z2(р) = R2 находим

Двухполюсники Z1(p) и Z2(p) в плечах схемы рис. 16.13, а могут быть реализованы известными способами.

Пример. В результате аппроксимации получена функция |Hр(j )|2 = ( 2 + 1010)/(2 + 9×1010). Осуществим ее реализацию в виде симметричного Т-перекрытого четырехполюсника (см. рис. 16.13, а) при нагрузке на сопротивление R = 1 кОм.

Заменим оператор j на р:

Очевидно, что Hр(p) = (p + 105)/(p + 3×105). Сопротивление Z1(p) в схеме на рис. 16.13, а определяется по формуле:

Разложение Z1(p) в цепную дробь:
приводит к схеме параллельного RС-контура с элементами С = 5 нФ и R1 = 2 кОм.

Двухполюсник Z2(p) является обратным, т. е. последовательным RL-контуром с элементами L = 5 мГн и R2 = 0,5 кОм.

Схема реализованного четырехполюсника приведена на рис. 16.13, б.

Синтез реактивных лестничных четырехполюсников, нагруженных резистивными сопротивлениями (рис. 16.14) основан на том очевидном факте, что активная мощность, отдаваемая генератором , равна мощности, потребляемой нагрузкой , т. е.

Рис. 16.14 |

Ток I1 выразим через задающее напряжение генератора U0
и подставим в предыдущее равенство. После алгебраических преобразований, получим:
(16.22)

Левая часть данного уравнения представляет собой квадрат модуля рабочей передаточной функции (12.44), а числитель правой части можно представить следующим образом:
(16.23)

Убедиться в справедливости уравнения (16.23) можно путем элементарных преобразований его правой части. С учетом сказанного уравнения (16,23) преобразуется к виду:
(16.24)

Из последней формулы можно найти операторное входное сопротивление Zвx(p). Реализуя Zвx(p) в виде лестничной структуры, получаем цепь с заданной передаточной функцией Н(р). При этом, конечно, нужно следить, чтобы реализовывались нули передаточной функции.

Обозначая
(16.25)
где – коэффициент отражения мощности на входе четырехполюсника, получим из (16.24) связь между квадратом частотной характеристики коэффициента отражения и квадратом АЧХ четырехполюсника:
(16.26)

Практические аспекты применения данного метода будут рассмотрены при синтезе фильтров.

Синтез ARС-цепей. Активные RС-цепи возникли как альтернатива RLC-цепям. Дело в том, что катушки индуктивности, а значит и в целом RLC-цепи плохо поддаются микроминиатюризации и обладают значительной массой и габаритами. Активные RС-цепи в принципе допускают микроминиатюризацию, что является их явным достоинством. Существенным же недостатком ARС-цепей является их относительно низкая стабильность, относительно высокий уровень собственных шумов и нелинейных искажений. Поэтому ARС-цепи применяются в основном в области низких частот приблизительно до 100 кГц. На более высоких частотах применяются ARС-цепи невысоких порядков. Ниже кратко описаны методы синтеза ARС-цепей, которые нашли применение на практике.

Имитация в RLC-цепях индуктивностей их электронными эквивалентами. Существуют активные многополюсники, называемые обобщенными преобразователями сопротивлений, которые, будучи нагруженными на емкости или резисторы, реализуют на своих входных зажимах некоторую цепь, состоящую из индуктивностей. В простейшем случае индуктивность можно реализовать нагруженным на емкость гиратором (см. § 3.11). Данный метод синтеза ARС-цепи сводится к синтезу пассивной RLC-цепи с последующей заменой всех индуктивностей их электронными эквивалентами.

Синтез ARC-цепей по моделям. Этот метод заключается в том, что рассматривается ARС-схема, состоящая из одного или нескольких активных элементов и некоторого RС-многополюсника. Методами анализа электрических цепей находится операторная передаточная функция, выраженная через параметры RС-многополюсника и активного элемента. Сравнивая заданную передаточную функцию с полученной, определяют параметры синтезируемой схемы (метод выравнивания коэффициентов). Чаще всего в качестве активного элемента выбирают ОУ с бесконечным коэффициентом усиления и задаются структурой многополюсника.

Анализ цепей с ОУ рассмотрен ранее (п. 14.1) и основывается на замене ОУ зависимым источником. Согласно этому методу сформулируем алгоритм нахождения операторных передаточных функций цепей с ОУ. Он состоит из следующих шагов:
1. Ко входу цепи подключить какой-либо источник.
2. Заменить все ОУ их схемами замещения (зависимыми источниками) с конечным коэффициентом усиления Ну.
3. Любым методом анализа цепей определить изображение по Лапласу входных (U1(p) или I1(p)) и выходных (U2(p) или I2(p)) напряжений и токов.
4. Взять отношение найденных изображений и в этом отношении сделать предельный переход при Ну .

Пример. Зададимся моделью, показанной на рис. 16.15.

Рис. 16.15 |

При коэффициенте усиления ОУ, стремящемся к бесконечности, операторная передаточная функция примет вид (см. § 3.11 и гл. 14):

Пусть Y1 = G1, Y2 = G2, Y4 = G4, Y5 = pC5, Y3 = pC3, тогда
(16.27)

Таким образом, данной схемой можно реализовать передаточную функцию вида
(16.28)

Из сравнения выражений (16.27) и (16.28) следует, что

Полученная система из трех уравнений содержит шесть неизвестных. Она имеет множество решений. Наложим дополнительные ограничения на неизвестные. Пусть G1 = G2 = G3 = G4 = G, тогда система уравнений преобразуется к виду

Отсюда следует, что C5 = 3G/a, C3 = a/3, Н = . Задавшись конкретным значением G, найдем C3 и C5.

Если проводимостям исходной схемы приписать другие значения, то можно реализовать множество различных функций.

Каскадная реализация заключается в представлении заданной передаточной функции в виде произведения множителей обычно второго, а иногда первого порядков. Такие функции в силу их простоты несложно реализовать в виде активной схемы, которую называют звеном. Затем полученные четырехполюсники включают каскадно, причем так, чтобы взаимное влияние звеньев было пренебрежимо мало. Это достигается двумя способами: либо включением между звеньями специальных буферных (развязывающих) активных четырехполюсников (например, повторителей напряжений), или таким выбором звеньев, при котором отношение выходного и входного сопротивлений звеньев в месте соединения стремилось либо к нулю, либо к бесконечности. Другими словами, данные сопротивления должны резко отличаться друг от друга. Например, если выходное сопротивление предыдущего звена стремится к нулю, то входное сопротивление последующего звена должно стремиться к бесконечности и наоборот.

### Вопросы и задания для самопроверки

1. Из каких этапов состоит синтез электрических цепей?

2. Сформулируйте условия физической реализуемости передаточных функций, АЧХ и ФЧХ, временных функций и входных функций электрических цепей.

3. В чем состоит отличие методов аппроксимации по различным критериям близости: интерполяции, по Тейлору, по Чебышеву и среднеквадратической аппроксимации?

4. Аппроксимировать методом интерполяции зависимость (x) = = e–0,5x на интервале полиномом второй степени F(x) = x2 + a1x + a2. Оценить точность аппроксимации для различных узлов интерполяции.

5. Какой из вариантов аппроксимации (рис. 16.16, а—е) заданной на интервале (x1, x2) функции (x) полиномом пятой степени F(x) соответствует наилучшему приближению по критерию Чебышева?

Рис. 16.16 |

Ответ:д).

6. Какие из перечисленных функций удовлетворяют условиям физической реализуемости операторных передаточных функций и почему:

   Ответ:1), 2), 6) и 7).

7. По заданным квадратам модуля передаточных функций цепей найти их операторные передаточные функции:

   Ответ:

8. Найти схему и величины элементов мостового четырехполюсника постоянного характеристического сопротивления, реализующего передаточную функцию (при R = 1)

   Ответ:

9. В результате синтеза цепи получены нормированные значения элементов R1 = 0,25, = 0,75, = 1, = 0,5, = 2, = 0,5. Определить истинные параметры элементов, если сопротивление нормирования Rн = 103 Ом, а частота нормирования н = 106 с–1.

   Ответ:R1 = 250 Ом, R2 = 750 Ом, L1 = 1 мГн,

   L2 = 0,5 мГн, С1 = 2× 10–9 Ф, С2 = 0,5×10–9 Ф.

10. Операторная передаточная функция цепи имеет вид:

    Выполнить нормирование данной функции, если частота нормирования н = 104 с–1.

    Ответ:

11. Что такое положительно-вещественные функции (ПВФ)?

12. Какие из приведенных дробно-рациональных функций являются ПФВ:

    Ответ:2) и 3).

13. Какими свойствами обладают входные функции реактивных двухполюсников?

14. Опишите процедуры синтеза реактивных двухполюсников по методам Фостера и Кауэра.